IQ 処理して、実部だけ出力して良いのか?

備忘録です。
入力が実信号であっても、ディジタル信号処理の複素 FIR フィルタで負の周波数成分を除去した場合、信号は複素信号になります。これを現実の信号に戻す際、単純に虚部を捨ててしまって良いのでしょうか。本当は数学的に検証しなくてはいけないのでしょうが、もはや老境の頭では計算が厄介なので、直感を交えて考えてみることにしました。
少し厳密にいうと、考えなくてはいけないのは次の 2つのようです。

実信号の負の周波数成分を捨てること
複素信号の虚部を捨てること

まず前者です。（離散時間システムで考える）現実世界の余弦波（振幅は 1 とする）は $\cos(\omega n)$ で表されますが、これをオイラーの公式で複素表現にすると $(\exp(j\omega n) + \exp(-j\omega n))/2$ となります。いま、ここから負の周波数成分を捨ててしまうと、 $\exp(j\omega n)/2$ だけが残ります。直感的には、この処理で元の余弦波のエネルギー（電気信号であれば電力）は半分になるように思えます。
数値を当てはめて検証してみます。たとえば、いま余弦波の周波数を標本化周波数の 1/4 とすると、もともとの信号は時間軸上で {1, 0, -1, 0, ...} ですが、負の周波数を捨ててしまうと、{1/2, j/2, -1/2, -j/2, ...} のようになります。エネルギーは変位の自乗和ですから、もともとの信号のエネルギー密度を 0.5/サンプルとすると、負の周波数を捨てた場合には 0.25/サンプルとなります。やはり、エネルギーが半分になると考えて良いように思えます。（位相が異なる「正弦波」については、別途考えてみます。）
次に後者です。負の周波数成分を捨てると {1/2, j/2, -1/2, -j/2, ...} のような変位が得られますが、ここから虚部を捨てて現実世界に戻すと、{1/2, 0, -1/2, 0, ...} のようになります。一般に（連続時間システムの）複素正弦波の自乗 $\exp(j\omega t)^2$ を 0 から $2\pi/\omega$ まで積分すると $2\pi$ になりますが、その実部を取り出した余弦波の自乗 $\cos(\omega t)^2$ を同じように積分すると $\pi$ になりますので、やはりエネルギーが半分になると考えて良さそうです。
最後に実験をしてみました。実部（の一部）だけを通す複素 FIR フィルタを組んで、パスバンドの正弦波を通し、最後に虚部を捨てて実信号に戻してみたところ、振幅が半分（つまり、エネルギーが 1/4）になることを確認できました。このような信号処理系で振幅を補償するには、振幅 2倍のゲイン（つまり、およそ 6dB）を与えてやれば良いようです。
今度、もう少し数学的に検証してみたいと思います。（← たぶん、やらない。）