L マッチの方程式解けた （備忘録、別名、自画自賛）

L マッチ回路のインピーダンス変換のための方程式を、ノートでゴリゴリ解いてました。無事に解けました。頭が固くなっていることもあり、けっこう、しんどかったです。
ポイントは、まず、ガウス平面上で 2つの二次方程式を立てるところです。リアクタンスの直列側はインピーダンスのベクトル線図から始めてインピーダンスの等式に持ち込み、並列側はアドミッタンスのベクトル線図から始めてアドミッタンスの等式に持ち込むのが容易な感じです。
この結果、2つの二次方程式（連立方程式）を得ます。片方を X_p （並列側のリアクタンス）= ... という式に変換し、もう一つの式に代入します。これをゴニョゴニョしていくと、リアクタンスの自乗に対して二次方程式の解の公式を使える形になるので、まずは X_s^2 （シリーズ側のリアクタンスの自乗）を求めます。二次方程式なので解が 2つ求まりますが、一つはありえない形なので消せます。さらに X_s^2 の開平が必要になりますが、これは、ハイパスフィルタになるものと、ローパスフィルタになるものと、正負のリアクタンスが解になります。この結果を一つの二次方程式に代入すると、X_p も無事に求まりました。途中、電卓のお世話になりましたが、Maxima なしで解くことができて、ちょっと嬉しかったです。